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A NICE FUNCTIONAL EQUATION #math #maths

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FacebookMath Avenue : Learn Math By Examples

Prove that if the function φdefined on [0, ∞) is nonincreasing and satisfies the Cauchy functional equation φ(s t)=φ(s) φ(t), s ≥0, t ≥0; then φ(t)=e^-λt for some λ≥0. Hence a positive random variable T has the property P(T>s t |T>s)=P(T>t), s ≥0, t ≥0 if and only if it has an exponential distribution. [Hint: φ(0)=1 : φ(1 / n)=α^1 / n, where α=φ(1), φ(m / n)=α^m / n ; if m / n ≤t< (m 1) / n, then α^(m 1) / n ≤φ(t) ≤α^m / n; hence the general conclusion follows by letting n →∞. | Numerade

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2021年6月8日

How to solve Functional Equations. - f(x y)=f(x) f(y)

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2019年12月3日

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